Le modèle Black-Scholes

Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Ce modèle d’évaluation des actifs financiers a été le point de départ des recherches de Fischer Black sur l’évaluation des options. Il a été introduit en premier par Treynor en 1961.

Le CAPM permet de déterminer la rentabilité E(R_a) d’un actif risqué en fonction de son risque systématique \beta, sa rentabilité espérée E(R_E) et du taux d’intérêt risque neutre R_0, selon la formule suivante : E(R_a) = R_0 + \beta(E(R_E)-R_0)

C’est-à-dire que la prime de risque effective E(R_a)-R_0 est proportionnelle à la prime de risque espérée E(R_E)-R_0 avec \beta comme coefficient de proportionnalité. \beta représente la corrélation entre le prix de l’actif et les prix du marché. Un \beta égal à zéro signifie que le prix de l’actif n’est pas du tout corrélé avec le marché, des brusques variations des prix sur le marché n’ont aucun impact sur le prix de l’actif. Ainsi, un produit qui ne serait pas corrélé au marché à une espérance égale à R_0 car il est en fait sans risque pour son détenteur.

Les hypothèses sur lesquelles repose le CAPM sont les suivantes :

  1. Il n’y a pas de coûts de transaction
  2. Les transactions n’ont pas d’influence sur le prix de l’action
  3. Il n’y a pas de taxes
  4. Les investisseurs sont adverses au risque
  5. Tous les investisseurs diversifient leur portefeuille pour diminuer le risque
  6. Les investisseurs peuvent emprunter autant d’argent qu’ils le veulent au taux sans risque

Les hypothèses 2,5 et 6 sont néanmoins discutables.

L’équation de Black-Scholes

La première idée de Black a été d’essayer d’appliquer le CAPM à d’autres types d’actifs que les actions. Il a donc utilisé le résultat sur le prix d’une option après avoir différencié son espérance selon la formule de Taylor où w est le prix de l’option et x le prix du sous-jacent :

E(\Delta w) = \frac{\partial w}{\partial x}E(\Delta x) + \frac{\partial w}{\partial t}\Delta t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}E(\Delta x^2) + \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial t}\Delta tE(\Delta x) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 w}{\partial t^2}\Delta t^2

Après quelques manipulations, cela donne l’équation aux dérivées partielles suivante où r est le rendement sans risque et \sigma la volatilité du prix de l’option :

\frac{\partial w}{\partial t} = rw-rx\frac{\partial w}{\partial x}-\frac{1}{2} \sigma^2 x^2\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}

Au début, Black n’arrive pas à résoudre cette équation différentielle mais il semble ébahi par ce résultat : en apparence, des éléments clés du problème comme le \beta n’apparaissent pas dans l’équation.

En 1968, Black rencontre Scholes, un jeune chercheur en finance au MIT. Ce dernier s’intéresse particulièrement à la création d’un portefeuille avec un coefficient \beta égal à zéro. D’après le CAPM, un tel portefeuille ne peut espérer qu’un rendement égal au rendement sans risque. Après quelques calculs, Scholes obtient la même équation différentielle que Black, désormais appelé équation Black-Scholes.

La formule de Black-Scholes

Black et Scholes travaillent ensuite de pair pour réussir à résoudre cette équation différentielle et obtenir le prix au cours du temps d’une option. Leur idée est que si le \beta de l’action est de zéro (hypothèse de Scholes pour obtenir la formule) alors le \beta de l’option est également de zéro. Cette approche leur permet d’utiliser la formule de Sprenkle pour enfin obtenir la formule de Black-Scholes :

w = xN[\frac{ln(x/c)+(r+\frac{1}{2}\sigma^2)(t^*-t)}{\sigma \sqrt{t^*-t}}] - c[exp(r(t^*-t))]N[\frac{ln(x/c)+(r-\frac{1}{2}\sigma^2)(t^*-t)}{\sigma \sqrt{t^*-t}}]

Les hypothèses sur lesquelles repose cette formule sont multiples.
Tout d’abord, les actifs doivent vérifier que :

  1. Il existe un taux d’intérêt sans risque connu et constant
  2. Le prix de l’actif suit un mouvement brownien de volatilité \sigma et de dérive \mu constante
  3. L’action ne paie pas de dividendes entre le moment de son évaluation et son échéance

Le marché doit vérifier que :

  1. Il n’y a pas d’opportunités d’arbitrage
  2. Il n’y a pas de couts de transaction ou de taxes
  3. Il est possible d’acheter et de vendre des fractions d’actions
  4. Les investisseurs peuvent emprunter autant d’argent qu’ils le veulent au taux sans risque

Sources : [MCK], [WIK1], [WIK2]