La crise de 2008 pourrait être en partie due à l'utilisation de la formule des copules gaussiennes de David Li. Il s'agit alors de comprendre les mécanismes de son élaboration, mais aussi et surtout de son utilisation.
Élaboration, utilisation et défaillances du modèle
L'élaboration de la formule répond à une demande simple mais a une réponse très complexe: l'évaluation de plusieurs risques de défauts de paiement corrélés entre eux. Elle est indispensable particulièrement pour évaluer le prix d'un CDO, car les défauts de paiement des parts du paquet sont extrêmement corrélés. L'observation de la corrélation est simple, sa modélisation l'est beaucoup moins. Les marchés ne constituent pas en effet des laboratoires isolés. La faillite d'une compagnie par exemple peut largement conduire à un environnement favorable à celles d'autres compagnies. Autre exemple: la crise financière en Russie qui a provoqué la chute des bons du trésor russes en 1998 a entrainé celle des bons du trésors mexicains. Li s'est alors inspiré des travaux réalisés par les sociétés d'assurance vie: dans un couple, la mort du partenaire augmente significativement les chances de décès de l'autre partenaire (un homme veuf a six fois plus de chances de mourir qu'un homme ayant encore sa partenaire). Le raisonnement est ensuite statistique, à la manière de la physique, et permet de modéliser fidèlement le comportement d'un ensemble de personnes grâce à la chaine de Markov. Si l'on traite les individus comme des atomes, on peut leur appliquer les mêmes mathématiques... Li écrit alors dans The Wall Street Journal: «J'ai réalisé que le problème que je tentais de résoudre était exactement similaire à celui de ces personnes. Les défauts d'un prêt correspondent à la mort d'une compagnie.», ce qui permettait de modéliser mathématiquement l'effet de la faillite d'une compagnie sur les chances de faillites des autres. Il décida alors d'utiliser une courbe très standard, la copule gaussienne, afin de déterminer la corrélation entre différents portefeuilles d'investissements. Cette copule gaussienne n'était pas nouvelle, c'est son application à la finance, et plus particulièrement aux CDO, qui l'était. Le prix des CDO, notamment ceux auparavant trop difficiles à évaluer, peut alors être connu précisément. Plus précisément (voir formule à la fin de l'article), sa théorie introduit une variable aléatoire, le «temps de survie», qui permet de définir la corrélation comme un coefficient de corrélation entre les deux temps de survie des titres. C'est alors qu'il se sert de la copule gaussienne pour calculer, à partir des données historiques des marchés, la probabilité commune de défaut de deux titres.
Tout le monde s'est alors jeté sur cette formule: investisseurs, régulateurs, banques et agences de rating ont été captivés par son élégance et sa simplicité d'utilisation. Les marchés de CDO et de CDS (Collateralized Swap Obligations) se sont développés ensembles, s'alimentant l'un l'autre. Tout était basé sur le formule de Li, applicable n'importe où, pour n'importe quoi. Selon Darrel Duffie, professeur de finances à l'Université de Standford, «Le monde de corporation de CDO s'est fondé presque exclusivement sur ce modèle». Le 10 Août 2010, l'agence de rating Moody's incorpore la formule dans sa méthodologie de notation. Une semaine après, Standard and Poor's change aussi la sienne. Les pratiques traditionnelles sont jetées par la fenêtre, on préfère mesurer le risque de façon mathématique donc certaine... Les agences de notations attribue alors des triple-A à énormément de paquet. Le marché des CDO et des CDS explose et atteint des niveaux inimaginables: celui des Swap passe de 920 milliards de dollars en 2001 à 62 trillions en 2007. Le modèle semble bien marcher dès lors que les marchés de l'immobilier et des bons du trésors continuent de croître. Mais l'explosion de la bulle du marché immobilier a eu un effet plus désastreux que prévu, à cause de la sous-évaluation des risques de corrélation. Au début, les banquiers n'étaient pas inquiets car la formule annonçait que les différents points du marché des États-Unis n'étaient pas corrélés. Cependant, les défauts de paiement continuaient d'augmenter alors que le modèle voyait le marché comme celui des années 1990', et pas comme l'excessif monstre d'inflation qu'il avait créé. Paradoxalement, c'est le modèle qui a changé la nature de la réalité qu'il modélisait, en influençant le comportement des acteurs. La panique sur le marché immobilier s'est alors répandu sur le marché des produits dérivés puis à toute l'économie. Soudainement, tout était profondément corrélé.
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Sources :
Controverse Mathématiques & Finance. Haut de page.
GILLET, LETOURNEAU, MAGNIEN, MARCILHACY, VYARAVANH-GIRARD